1.1. 1차연립방정식
1.1.1. 행렬
행렬(matrix): 한 개 이상의 수나 식을 직사각형 형태로 나열한 것
𝒂𝒊𝒋: 행렬 𝑨의 (𝒊, 𝒋)-성분(entry) / 원소(element)
𝒂𝒊𝒊를 대각성분(diagonal entry) / 대각원소(diagonal element)
𝕒𝒋는 𝒋번째 열을 뜻함(열 벡터의 집합으로 나타냄)
행의 개수는 𝒎, 열의 개수는 𝒏
행렬의 크기(size of matrix)는 𝒎 × 𝒏이다.
* 스칼라(scalar)는 하나의 수치로 표시되는 값이다. 스칼라를 나열하여 행렬을 구성한다.
정방행렬(square matrix): 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬, 즉 행렬의 크기가 𝒏 × 𝒏인 행렬
1.1.2. 1차연립방정식의 해
1차연립방정식(system of linear equations): 복수의 1차방정식들로 이루어진 연립방정식
계수(coefficient): 변수 앞의 값
해집합(solution set): 연립방정식을 만족하는 해를 원소로 갖는 집합
무모순(consistent): 해가 하나이거나 무수히 많음
모순 혹은 불능(inconsistent): 해가 없음
동치(equivalent): 동일한 해집합을 가지는 두 1차연립방정식의 관계
1.1.3. 1차연립방정식의 행렬 표현
계수행렬(coefficient matrix): 1차 연립방정식의 계수를 성분으로 하는 행렬
첨가행렬(augmented matrix): 계수행렬에 상수항까지 성분으로 추가한 행렬
1.1.4. 1차연립방정식 풀기
1차연립방정식을 동치의 다른 연립방정식으로 변환
1.1.5. 기본 행 변형
기본 행 변형(elementary row operation)
1. 행 교환(interchange)
2. 한 행에 스칼라배(scaling)
3. 한 행에 스칼라배한 결과를 다른 행에 더함(replacement)
행렬 A가 기본행변형으로 행렬 B가 될 때, A와 B를 행동치(row equivalent) 관계에 있다고 함
A ~ B 라고 표시
* A ~ B 일경우 B ~ A임
첨가행렬에서 A ~ B일경우 A와 B는 동일한 해집합을 가짐.
1차연립방정식에 대한 두 가지 질문:
1. 해의 존재성(exsistence)
2. 해의 유일성(uniqueness)
1.2. 사다리꼴 행렬
1.2.1. 사다리꼴 행렬
사다리꼴 형태(echelon form)
1. 모든 성분이 0인 행은 맨 아래로 간다.2. k+1번째 행에서 처음으로 0이 아닌 성분은 k번째 행에서 처음으로 0이 아닌 성분보다 뒤에 나타난다.
피봇(pivot): 사다리꼴 행렬의 각 행에서 처음으로 0이 아닌 값
피봇 열(pivot column): 피봇이 포함된 열
계수(rank): 사다리꼴 행렬에서 피봇의 개수
축약된 사다리꼴 형태(reduced echelon form)
사다리꼴 형태에서1. 피봇의 값이 1이다.2. 피봇의 위 또는 아래 성분의 값들이 모두 0이다.
각 행렬에 대해 행동치 관계에 있는 축약된 사다리꼴 형태는 유일하게 존재한다.
1.2.2. 사다리꼴 행렬과 1차연립방정식의 해
1차연립방정식을 첨가행렬로 표현한 후 그것을 축약된 사다리꼴 형태로 만든다.
해의 존재성: 첨가행렬의 사다리꼴 형태에서 가장 마지막 열에 피봇이 없을 경우 해 존재
해가 유일할 때: 해가 존재하면서 자유 변수가 없음
해가 무수히 많을 때: 해가 존재하면서 자유변수가 존재함
1.3. 벡터 방정식
1.3.1. 벡터
벡터: 크기와 방향을 가지는 물리량을 나타내는 값
or 열벡터 / 행벡터처럼 행렬의 특수한 형태로 파악할 수도 있음
ℝ𝟐 벡터 (𝟐차원 벡터):
집합 𝑨와 𝑩에 대해 𝑨 × 𝑩 = {(𝒂, 𝒃) | 𝒂 ∈ 𝑨 𝐚𝐧𝐝 𝒃 ∈ 𝑩}으로 정의되며 𝑨와 𝑩의 데카르트 곱
(Cartesian product)이라 부른다. 따라서 ℝ𝟐 = ℝ × ℝ = {(𝒙, 𝒚) | 𝒙 ∈ ℝ 𝐚𝐧𝐝 𝒚 ∈ ℝ}, 즉 두 실수 값의 순서
쌍들의 집합이다. 그래서 2차원 실수 평면을 나타낸다.
ℝ𝟑 벡터 (𝟑차원 벡터):
n차원 벡터:
1.3.2. 벡터의 연산
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